积分几何在中国
---- 纪念任德麟先生
张高勇
2018年12月14日，在美国新泽西家中晚饭后不久，正是北京时间15日早上八点多钟，我突然收到来自国内朋友的消息：“任老师今早去世了”。消息来得太突然，我盯着短信，思绪一片混乱。脑海里随之涌现出半年前我带着全家去武汉探望任老师的情景：那天他格外高兴，精神奕奕的与我谈数学、聊人生、话家常，并且合影留念，看不出已患重病的迹象。然而，这竟然是永别的情景！我感到悲痛万分，立即决定回武汉去送任老师最后一程。
几天后，任老师的遗体告别仪式在沉痛肃穆的气氛中进行。哀乐低回的殡仪厅高悬着“沉痛哀悼美高梅mgm集团2288任德麟校长”的横幅；“学为人师行为世范先生真写照，功在治校德在办学后辈永追思”的醒目对联高度概括了任老师追求学术真理、勇攀学术高峰、孜孜不倦育人、励精图治治校的光辉人生。
我作为任老师的学生代表发言，讲述了任老师对中国数学的卓越贡献：“任老师一生钟爱数学，也为数学贡献了毕生的精力。是他首先开启了积分几何、凸几何等数学分支在中国的研究。从近半个世纪前的完全空白，到现在这些数学分支在中国的蓬勃发展，是任老师带领他的学生们经过几十年的艰苦努力而取得的。作为这些数学分支在中国的创立和发展的先驱者，任老师做出了最重要、最杰出的贡献。他不愧为一位开创性的数学家。”
积分几何是数学的一个重要分支，它研究几何体的整体性质和随机性的关系。其应用深入到医学、生物学、材料科学和信息科学等诸多领域。任老师在积分几何的研究中做出了突破性的贡献。著名几何学家，美国纽约大学库郎（Courant）数学研究所鲁特瓦克（Lutwak）教授称赞任老师是中国积分几何的伟人。他的逝世是中国积分几何学科的重大损失。
上世纪八十年代，我跟随任老师研习积分几何，是任老师引导我走上了数学研究之路。他的学术思想与学术风格极大地影响了我的数学研究工作。与任老师几十年的师生情谊，宛如春风化雨、涓涓细流，更让我对任老师充满了无限思念。岁月的往事历历在目，记忆的画卷慢慢展开。谨以此文纪念我的恩师任德麟先生。
2004年10月任老师与本文作者
2018年4月任老师在家中与周家足、武良成和作者
一、缘定武汉钢铁学院
1934年12月28日任老师出生于江苏省兴化县。1953年他从江苏省省立扬州中学毕业进入武汉大学数学系学习。他品学兼优，勤奋刻苦，学习成绩特别拔尖，还是学生班主席。他给任课老师们留下了深刻的印象，并深得数学系的李国平院士和余家荣教授等著名数学家的赞许，因而是毕业后留校工作或者分配去中国科学院数学研究所的极佳人选。遗憾的是，1957年任老师在大学毕业前夕被错划成学生“右派”，风华正茂之际便遭遇了人生的重大挫折。毕业后他被分配到武汉钢铁公司夜大工作。1958年武汉钢铁学院成立，武钢夜大并入武汉钢铁学院，任老师便成为武汉钢铁学院教师。
大学时代的任老师
任老师（第二排左三）大学毕业时同学合影照
武汉钢铁学院坐落在长江南岸的武汉市青山区，邻近红钢城和以前有名的武汉钢铁公司。一条直通长江边的大路将钢铁学院分为东西两院。每到夏天，道路两侧美丽的梧桐绿树成荫，沿着大路散步去长江岸边欣赏长江风景堪称绝妙。1995年，隶属于原冶金部的武汉钢铁学院、武汉建筑高等专科学校、武汉冶金医学高等专科学校合并组建为武汉冶金科技大学。1999年更名为美高梅mgm集团2288。任老师1990年起担任武汉钢铁学院院长，直到1997年底卸任武汉冶金科技大学校长。
作为武汉钢铁学院的年轻教师，因为政治阴影，任老师小心翼翼地在逆境中生活，承担了大量的教学工作。任老师酷爱数学，坚持刻苦学习与钻研。他的天赋和毅力使他的数学水平达到了很高的程度，也因此获得同事们的尊重。特别是进入六十年代后，钢铁学院数学教研室的年轻教师们都很钦佩任老师的教学与学术水平。在文化大革命期间，任老师得以平安度过险境。
在文革期间，任老师坚持阅读当时能够找得到的外文数学专业书籍。他在阅读一本俄文数学书时，偶然接触到了其中的积分几何理论。积分几何引起了他极大的兴趣。他从此开始认真学习积分几何。
我是在1978年夏天参加全国统一高考后从四川的一个偏僻小镇到武汉上大学的。中学语文老师对毛主席诗句“才饮长沙水，又食武昌鱼”的精采讲解给我留下了深刻的印象。文革的教育使得“钢铁”一词对我产生了影响。这促成了我高考后第一志愿填报了“武汉钢铁学院”。因为中学时代我对平面几何的喜爱，在高考中我的数学得到了比其它科目更高的分数。这样在完全超出我的意愿之外的情况下，我被录取为武汉钢铁学院78级数学师资班的一名学生。师资班是极具时代特色的产物。改革开放之初，百废待兴，高等学校教师紧缺，一些高校办师资班为高校培养教师。
1978年10月，我从四川的小镇经过长途跋涉才在五天后的凌晨两点抵达武昌火车站。在到达武汉钢铁学院的第二天，我们数学师资班的同学被送到武汉建材学院（武汉理工大学前身）与其它几所高校的数学师资班的同学一起学习。让我期待的大学生活在一个我想象之外的地方起步。
任老师（前排左三）78级数学师资班学生与老师合影照
二、相识于数学师资班
快乐的大学时光在不知不觉间溜走，一晃便进入了大学三年级。突然有一天同学们之间传开了一个让人兴奋的消息：下个学期将有两位武汉钢铁学院的教授来给我们讲课，其中一位正教授来给我们讲授一门现代数学课程。想一想两年多来，给我们讲课的还没有一位副教授。而武汉建材学院也仅仅只有一位数学副教授。教授一词在当时同学们的心中自然是至高无上的。这确实是让人激动的消息。虽然不清楚这门现代数学课程具体是什么，只听说和几何有关,但却令我们倍感期待。
上世纪70年代末，有真才实学的年轻科技人才开始得到重视。1980年湖北省破格提拔了四位讲师为正教授。其中武汉大学两位，华中工学院（华中理工大学前身）一位，武汉钢铁学院一位。他们是湖北省学术界耀眼的明星。要来给我们讲课的正是这位武汉钢铁学院的数学教授。
对任老师最初的印象是中等身材，略显瘦，很有精神。讲话的声音稍微低沉，语速较慢，显内敛，偶尔露出微笑。他讲课思想性强，简单明了，切中要点，深具学者气质。
任老师给我们讲的课叫“流形上的微积分”，属于现代数学的基础知识，比经典的微积分抽象很多。作为改革开放最初期的大学生，同学们对知识充满了无限的渴望。能学习到现代数学知识，自然是无比的激动。课间休息时，总有一些同学围着任老师请教问题，而我总是站在边上充满着兴趣旁听。终于有一次我鼓起勇气问了一道很久做不出来的关于微分几何的题目。这是任老师作为我的导师与我最初的直接交流。
另一位从武汉钢铁学院来给我们讲课的教授是秦裕瑗先生，他给我们讲泛函分析课程。他也是一位了不起的学者，课讲得很好，有激情，并且时常讲些激励学生刻苦学习的话，这让我受益匪浅。
三、积分几何, 任领风骚
在大学的最后一个学期，我们武汉钢铁学院78级数学师资班的十名学生终于从武汉建材学院回到了武汉钢铁学院。这个学期，任老师给我们讲授积分几何专业课程。这大概是在中国第一次开设积分几何课程。另外还有秦裕瑗老师讲授运筹学。和我们一起听课学习的还有那时年轻的李寿贵老师。他也将任老师视为恩师，后来做理学院院长多年。这个学期另一个主要的学习任务是写毕业论文。我毫不犹豫地选择了任老师作为我的论文指导老师。任老师给我的论文选题是和他的研究工作有关联的一个题目。这真是我的幸运，因为任老师直接将我领进了积分几何研究的前沿领域！
任老师的数学研究领域是积分几何。积分几何是微分几何、凸几何以及概率论等学科交叉所产生的一个数学分支。它是由德国著名数学家柏拉须凯（Blaschke）和他的学生在上个世纪三十年代创立的。柏拉须凯还是仿射微分几何的主要创立者，对凸几何也有非常大的贡献。他的学生中有数学大师陈省身先生，积分几何大师桑塔罗 (Santalo), 以及数学家吴大任先生。苏步青先生早年去德国访问学习，也深受柏拉须凯教授的影响。之后，苏步青先生将柏拉须凯的凸几何名著《圆与球》译成中文，并在他的经典著作《微分几何五讲》的第二讲中介绍积分几何。此外，苏步青先生还著有中文著作《仿射微分几何》，为微分几何在中国的发展做出了巨大的贡献。
任老师与陈省身先生
任老师与吴大任先生
上世纪三十年代陈省身先生和吴大任先生等跟随柏拉须凯教授学习和研究过积分几何。但是，相比微分几何而言，积分几何与凸几何在中国的研究起步要晚得多。它肇始于上世纪七十年代末至八十年代初任德麟先生关于积分几何的突破性研究工作。之后，积分几何在中国的发展得到了陈省身先生、吴大任先生、苏步青先生等著名数学家的大力支持。
任老师在文化大革命时期阅读俄文数学著作时，偶然接触到了积分几何理论。他被这一精美的几何理论所吸引，决定仔细探究其精髓。对他来说这是一个全新的数学领域，可以想象仅凭这唯一的文献资料、完全依靠自学来理解积分几何理论是何等艰难的事情。囿于上世纪七十年代困难的经济条件与窘迫的居住条件，任老师经常在教工宿舍外的路灯下或者教工宿舍中狭小的共用区域里读书学习。每当夜深人静之时，任老师独自静默思考与理解积分几何的精神实质。他凭借自己极强的数学直觉和洞察力发现了积分几何中尚未解决且意义重大的问题，从而跨进了积分几何研究的天地。可以肯定的是在这困难重重的漫长过程中，没有坚韧不拔的毅力、刻苦钻研的精神以及对数学的热爱是不可能达到这样的高度的。
学习中的任老师
随着中国改革开放的启航和科学春天的到来，中国数学的春天也随之来临。1980年，数学大师陈省身先生在北京组织了第一届国际微分几何与微分方程研讨会，被简称为第一届双微会。之后连续举办了多届双微会。双微会的举办对中国数学的发展影响深远。中国科学院《国际学术交流资料》（1981）是对第一届双微会的一个总结，其中写道：“在筛选论文和确定代表中，我们排除种种困难，发扬学术民主，反对一言堂，不拘一格选拔有真才实学者。武汉钢铁学院任德麟的论文，在审稿会快要结束时，才由个人推荐给会议，吴文俊同志发现论文确实不错，推荐给会议，请任德麟列席参加会议......中外数学家们都认为他的论文很有意义。”
任老师在双微会上作报告
任老师在论文中提出了具有重要意义的新的几何概念，并且解决了积分几何中的重要问题。这一工作在凸几何与积分几何中都是突破性的创新。在数学研究中，发现有重要意义的数学概念是一个优秀数学家可贵的创新特质；解决存在的重要数学问题又是一个数学家难得的攻关能力。著名数学家吴文俊先生慧眼识珠，使得任老师的研究工作尽快得到了数学界的认可。从此，积分几何在中国生根发芽，其意义非同寻常。
我的大学毕业论文是在任老师的指导下和我的同学黎荣泽合作完成的。毕业论文讨论了任老师的一篇文章中的几个特例，其中涉及到了大量的积分计算。我的计算能力也因此有了很大的提高，从此不再畏惧处理复杂的积分。这些特例可以应用到几何概率中著名的蒲丰（Buffon）投针问题的推广。清楚的记得我在做论文的过程中，遇到了测度无穷的问题，我不知道如何解决。两天之后，任老师告诉我如何用有限逼近的办法来解决问题。这次同任老师的学术交流让我印象极为深刻，非常佩服任老师自然地运用数学思想的能力。毕业论文在《武汉钢铁学院学报》上发表，我的数学研究之路也迈出了重要的第一步。
四、武汉大学硕士生导师
武汉钢铁学院七八级数学师资班的十名学生最终留校任教的仅三人，我是这三名幸运者之一。1982年秋天，我正式留校当一名助教。之后听说是因为任老师发现我有数学能力而被推荐留校的，这也决定了我的事业旅途。
留校工作之后我有了更多与任老师接触的机会。我所在的系叫做基础课部，分别设有数学、物理、力学、外语、体育、制图等教研室。数学教研室仅有一间普通教室大小的办公室，几张办公桌供二、三十位数学教师共用。每周星期四下午两点到五点钟，所有教师聚在办公室一起政治学习。读完文件和报章之后，便是大家自由讨论。我和其他年轻教师喜欢听任老师讲他学习和研究数学的经历以及对数学的理解。
很多时候我与另一位留校的同学（他给任老师做助教）去任老师家里请教问题。任老师喜欢抽烟，一根接一根，一边抽一边讲。他讲他以前在艰苦的条件下如何坚持学习，读过哪些书，如何开始研究积分几何。他鼓励我们坚持学习微分流形和拓扑学等新的数学知识，也建议我们继续学习积分几何。我们经常坐到很晚才离开。
数学教研室教师的主要任务是数学课教学，基本上没有科研活动。我跟任老师的大学同学罗祖安老师做助教，他也是一位很有水平的老师。我随班听课，讲高等数学习题课，批改作业等，我的教学因此受益良多。任老师和罗老师等老一辈教师对我们年轻教师都非常关心。虽然数学教研室所占的空间不大，但是教师关系与工作氛围很好。系里和学校也很鼓励年轻人学习上进。任老师建议我读桑塔罗的书《积分几何与几何概率》。图书馆刚刚买到一本英文原版书，很珍贵，只能在阅读室借阅。所以，我经常在图书馆阅读室借阅此书。两年下来，我对积分几何有了更深入的理解。
那时候武汉钢铁学院还没有招收数学研究生的资格。想招研究生的老师需要在其它学校获得导师资格后才能在本校招生。1984年，任老师被聘为武汉大学硕士研究生导师，并在武汉钢铁学院招收了第一届数学研究生。研究生的学籍属于武汉钢铁学院，学位由武汉大学授予。我和武汉大学的年轻教师周家足成为了任老师的首批两名硕士研究生。
在武汉大学读研期间，我第一年与在武汉大学数学系的进修教师一起住在数学楼的顶楼，那倒是一段挺有意思的生活。第二年搬到樱园与数学系的研究生住在一起。研究生的课程都是在武汉大学修的。几何专业课程由任老师和武汉大学的杨文茂老师负责。任老师亲自给我们讲积分几何的专业课程。来听课的还有武汉大学和湖北大学的研究生。讲课的地点在武汉大学和武汉钢铁学院轮换。微分几何的几门专业课程由杨文茂老师以及其他几位武汉大学的老师讲授。那个期间我学到了不少微分几何的知识。
五、积分几何研究工作与专著
当我在读研究生期间，任老师正在写他的中文专著《积分几何学引论》。这将是第一部关于积分几何的中文书，对学科的发展意义重大。任老师一边写书，一边提出新的研究问题让我们研究生思考。空间中凸体的包含问题便是讨论的课题之一。很快地我们便进入了论文课题的突破阶段。在任老师的悉心指导下，我和周家足各自的毕业论文在第二年就完成了。这样我们也就都提前一年毕业。我获得的凸体包含的充分条件被任老师写入他的专著之中。
任老师的数学研究工作具有高度的创新性，对积分几何理论做出了里程碑式的贡献。他的工作不仅解决了积分几何与几何概率中的重要问题，也对凸几何有突破性的贡献。他在早期的著名工作中完全解决了积分几何中线段的运动测度问题和弦幂积分的等周问题，在后期的重要工作中解决了几何概率中随机弦的分布问题。
任老师在凸几何中提出了凸体的“弦投影”这一新的重要几何概念。他根据弦投影的思想将凸几何中非常重要并且基本的“支持函数”的概念推广为“广义支持函数”。这不仅对解决积分几何中线段的运动测度问题起了关键作用，也为今后凸几何中的突破性工作提供了原始的创新性思想。
投影是一个基本的几何概念，它依赖于几何体边界的性质，数学中一直都是这样理解与运用。让人非常惊异的是任老师将投影同几何体的内部结构联系在一起，从而提出了更一般，更深入的弦投影这一崭新的具有重要意义的几何概念。任老师研究数学的这种理念与风格对我之后的数学研究工作产生了永久的影响。
1985年，弦投影这一几何概念被推广到高维空间，从而解决了高维空间中线段的运动测度问题。任老师和我共同合作完成了这一工作。此工作也收录于任老师的中文专著《积分几何学引论》中。任老师在1985年的上海国际双微会议上就此成果做了学术报告。我和周家足作为任老师的研究生也幸运地参加了这次国际学术会议。
1988年，任老师的中文专著《积分几何学引论》由上海科学技术出版社出版发行，这标志着积分几何这一数学分支在中国正式诞生。该书不仅讲述了积分几何的一般理论，也讲述了任老师的研究成果。世界数学大师陈省身先生为该书作序写道：“任教授此书不袭前人，有许多独特的贡献。举其著者，有BUFFON问题的推广，一域包另一域的条件，积分几何的应用等等。”
1994年，任老师的英文专著《积分几何专题》（《Topics in Integral Geometry》）由世界科学出版社 (World Scientific) 出版发行。该书将中国学者在积分几何中的研究成果介绍给世界。著名数学家，理海大学 (Lehigh University) 教授熊全治先生在该书的前言中写道：“任德麟教授的书简洁地讲述了积分几何的基本理论和经典应用，并且包含了许多1980年以来他自己和他的学生的重要的研究工作。”
六、积分几何讨论班、博士生导师与校长重任
1986年我硕士研究生毕业后，继续留在武汉钢铁学院工作。之后的几年，任老师逐渐担任了更多的行政职务，从系主任到大学校长。我也更多地协助任老师做些教学和研究工作。这期间，武良成和谢鹏被录取为任老师的硕士研究生。我们组成了一个积分几何讨论班。这是武汉钢铁学院的第一个数学讨论班，大概也是中国的第一个积分几何讨论班。任老师定期参加讨论和指导课题，有几次讨论班是在任老师的行政办公室进行的。武良成和谢鹏的毕业论文课题都是在这个讨论班中开始并完成的。武良成证明了一个新的积分几何公式。他因此在苏步青先生九十岁生日纪念会上做报告，其工作收录于苏步青先生九十岁生日纪念文集。武良成和谢鹏均获得武汉大学数学硕士学位。在获得南开大学经济学博士学位后，武良成成为了经济学家，现任深圳综合开发研究院副院长。谢鹏获得华中科技大学数学博士学位，一直从事积分几何与几何概率的研究，现在是华中科技大学副教授。
武汉冶金科技大学校长
硕士毕业后的几年，是我更深入理解任老师的研究工作，并努力争取更大学术进步的时期。经过几年的刻苦攻关，我终于在1990年取得了突破。我成功地将任老师弦投影的重要思想应用于凸几何中等周问题的研究。对于一个著名的投影不等式（Petty Projection Inequality），我证明了相关的反向投影不等式。这一工作获得国际同行的重视。纽约大学的鲁特瓦克（Lutwak）教授来信给予高度评价。此时周家足在美国坦布尔大学（Temple University）留学，他鼓励我出国留学，并把我介绍给他的导师格伦伯格（Grinberg）教授。尽管没有参加必要的出国留学考试，在格伦伯格教授和鲁特瓦克教授的竭力推荐下，我还是被坦布尔大学破格录取为博士研究生。我的数学事业从此掀开了新的篇章。但是，我深知这一切的变化都归根于任老师最初的研究工作，尤其得益于他提出的原创性思想。
在我离开武汉钢铁学院后不久，任老师被聘为武汉大学博士生导师。先后有李德宜和熊革等被录取为任老师的博士研究生，任老师的研究团队也有了新生力量。 在获得武汉大学数学博士学位后，熊革现在已经是同济大学数学科学学院的教授与博士生导师，李德宜是美高梅mgm集团2288理学院的教授与博士生导师并且任理学院院长。他们以及他们培养的学生在凸几何与积分几何中做出了高质量的研究成果， 成为了中国凸几何与积分几何的中坚力量。
七、赴美交流与学术传承
1997年底，任老师在担任了近八年的校长之后，从领导岗位上退下来。这样他便有了时间参加更多的学术活动。1999年，格伦伯格教授和我向美国国家科学基金会申请到一个与任老师的国际间合作交流项目。在此项目资助下，2000年春任老师被邀请到美国访问讲学。他先后访问了坦布尔大学，纽约理工大学，理海大学等，并作学术报告。
任老师在美国理海大学作学术报告
任老师夫妇与熊全治先生夫妇
去理海大学访问熊全治先生，从靠近纽约在新泽西的住处到宾州的理海大学，是我开车陪同任老师一块去的。大约四个多小时的车程。春夏相交的季节，天气很好。一早开车出发，沿途风光宜人，刚过中午就到了。下午，在理海大学数学系的系列学术邀请报告会上，任老师做了关于积分几何的学术报告。之后是相互交流的一个招待会和晚宴。那是一次难忘的学术访问。
任老师（前排左十 ）国际积分几何与凸性学术会议2004年首次在中国召开
任老师与凸几何学家Schneider教授
任老师与积分几何学家Grinberg教授
第一次在中国举行的国际积分几何学术会议是2004年在美高梅mgm集团2288举行的。会议得到了美高梅mgm集团2288的大力支持。十几位积分几何与凸几何的国外专家与国内若干专家学者出席了会议。会议开幕时，会议名誉主席陈省身先生专门致电祝贺。这一年正值任老师七十大寿，会议论文集《积分几何与凸性》（《Integral Geometry and Convexity》）由世界科学出版社 (World Scientific) 出版发行以志纪念。论文集封面的几何图形是任老师发现的弦投影与广义支持函数的重要几何概念。这是一次组织得非常成功的学术会议，得到国外专家的一致好评。理学院许多老师包括院长李寿贵教授，还有周家足和我都对会议的成功召开做出了最大的努力。此后，若干次积分几何与凸几何学术会议在国内相继召开，并得到了陈省身数学研究所难得的有力支持，为积分几何与凸几何在中国的发展起到了关键的推进作用。
任老师与研究生（2004年）
《积分几何与凸性》
任老师一生坚持和追求数学研究。2012年底，任老师开始研究几何概率中的随机弦的分布问题。经过近两年的不懈努力，获得了很满意的研究成果。2014年他的相关论文发表于国际《应用数学进展》（《Advances in Applied Mathematics》）期刊上。这一年他八十岁，他为自己准备了一份特别有意义的生日礼物，也为年轻学者树立了好榜样。
任老师不仅是一位优秀的数学家、一位杰出的学者，也是一位悉心培养学生和时刻关心年轻人成长的好导师。即使是在他病重期间还不忘关心年轻人。在2018年的8月中旬，他发微信告诉我：“我给这里数学系几位年轻老师写了几条，转发供参考：”。这几条讲他对数学分析中实数系的建立，极限的严格定义，以及微积分中导数和积分的定义的深刻理解。任老师致力于将他善于抓住问题本质的风格传授给年轻人。
任老师对积分几何与凸几何等数学分支在中国的创立与发展贡献巨大，影响深远。他确实是中国积分几何的伟人。他不仅做出了突出的研究成果，还培养了一批优秀的专家学者。而他的学生们，无论在国外还是在国内，均以他为榜样，正在共同发扬光大他的事业，力争取得优异的研究成果，并培养新一代更多的优秀学者。这种学术传承推动着学科的进步，任老师的学术思想与成果也得以继承和发扬， 而且永存！
2003年周家足全职回国，在西南部的贵州以及重庆从事积分几何与凸几何的研究工作和培养研究生。2018年他被授予中国政府友谊奖，表彰他为中国数学做出的突出贡献。 我近十几年来也致力于推进中国凸几何与积分几何研究的发展，为培养国内年轻的凸几何与积分几何人才尽绵薄之力。中国凸几何与积分几何研究的进一步发展任重道远，所取得的成绩同许多朋友的帮助与支持密切相关。无论是国内的，还是国外的朋友；无论是专业内的，还是专业外的朋友；无论是认识的，还是不认识的朋友，我均表示真诚的感谢！
作者简介：张高勇，纽约大学库朗(Courant)数学研究所教授，美国数学会会士。1982年大学毕业于美高梅mgm集团2288（原武汉钢铁学院）数学师资班。1986年获武汉大学理学硕士学位。1995年获美国坦布尔大学(Temple University)数学博士学位。研究方向：凸几何与几何分析。
